求 1 dz dy dx 的三重积分，其中 z 从 0.9621 - sqrt(0.9649^2 - (x - 0.4167)^2) 到 0.9621 + sqrt(0.9649^2 - (x - 0.4167)^2)，y 从 1.7476 - sqrt(1.7476^2 - x^2) 到 0.6773，x 从 0.34356 到 1.3815。

Step-by-step solution

1. 1

   把这个积分读成一个体积。 被积函数是常数 $1$，所以三重积分的值就是三对积分限所描述的那个区域的体积。这样一改写很有用：它告诉你答案必然为正，还给了你一个粗略的量级，事后好拿来核对。

2. 2

   利用 $z$ 的积分限的对称性算里层。 两个限都与中心 $z=0.9621$ 相距 $R(x)=\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}$，所以这层薄片的高度不过就是这个半径的两倍：

   $\int_{0.9621-R(x)}^{0.9621+R(x)}1\,dz=2R(x)=2\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}$

   中心 $0.9621$ 被抵消掉了，此后再也不会出现——起作用的只有半宽。

3. 3

   再算对 $y$ 的积分，它其实就是一段长度。 剩下的被积函数里已经没有 $y$ 了，所以对 $y$ 积分等于乘上 $y$ 区间的长度：

   $L(x)=0.6773-\left(1.7476-\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}\right)=\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}-1.0703$

   要检查在整个 $x$ 范围上都有 $L(x)>0$：$L(x)>0$ 要求 $x^{2}<1.7476^{2}-1.0703^{2}=1.90856$，即 $x<1.38151$，而 $x$ 的上限正是 $1.3815$。所以一直到边界，这个区域都没有退化。

4. 4

   化归为一个关于 $x$ 的一元积分。 把上面两个结果合起来，

   $V=\int_{0.34356}^{1.3815}2\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}\left(\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}-1.0703\right)dx$

   两个不同根式之积没有初等原函数，所以最后这一步只能靠数值方法。

5. 5

   数值积分，并确认结果是稳定的。 对这个被积函数用中点法则：取 $10^{5}$ 个子区间得 $0.73418869$，取 $10^{6}$ 个得 $0.73418869$，取 $10^{7}$ 个仍是 $0.73418869$；另外独立用辛普森法则算，也在八位有效数字上一致。所以

   $V\approx 0.7342$

   正是因为三次加密、两种不同法则都吻合，这个值才可信——只算一遍粗网格是撑不住的。