求 y = 8x6 - 3x 的负四次方，加 4 除以 x，再减 9 的导数。

Step-by-step solution

1. 1

   把每一项都改写成 $x$ 的幂。 幂函数求导法则只适用于 $cx^n$ 这种形式，所以要先把分式转换掉：

   $\frac4x=4x^{-1}$

   于是式子变成 $y=8x^6-3x^{-4}+4x^{-1}-9$。常数 $-9$ 就是 $-9x^0$，求导后会变成零。

2. 2

   对正指数那一项求导。 由 $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$，

   $\frac{d}{dx}\left(8x^6\right)=8\cdot 6x^5=48x^5$

3. 3

   对 $-3x^{-4}$ 求导 —— 这里有两个负号相遇。

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{-4}\right)=-3\cdot(-4)x^{-5}=+12x^{-5}$

   指数仍然是减小的：$-4-1=-5$，而不是 $-3$。又因为系数 $-3$ 乘上负指数 $-4$，所以得到的这一项是正的。

4. 4

   对 $4x^{-1}$ 和常数项求导。

   $\frac{d}{dx}\left(4x^{-1}\right)=4\cdot(-1)x^{-2}=-4x^{-2},\qquad \frac{d}{dx}(-9)=0$

5. 5

   合并起来，并用正指数写出。

   $\frac{dy}{dx}=48x^5+12x^{-5}-4x^{-2}=48x^5+\frac{12}{x^5}-\frac{4}{x^2}$

6. 6

   在 $x=1$ 处作数值抽查。 公式给出 $48+12-4=56$。对原函数取 $h=10^{-4}$ 作中心差商，同样得到 $56.00$，系数与符号都得到确认。注意导数在 $x=0$ 处没有定义，这与原函数一致。