求通项为 1/(4n^2 - 1) 的无穷级数从 n = 1 到无穷的和。

Step-by-step solution

1. 1

   先分解分母。 $4n^2-1$ 是平方差：$(2n-1)(2n+1)$。一旦看出分母是两个一次因式之积，就说明拆成部分分式后能裂项相消。

2. 2

   拆成部分分式。 设 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}$。去分母得 $1=A(2n+1)+B(2n-1)$；令 $n=\frac12$ 得 $A=\frac12$，令 $n=-\frac12$ 得 $B=-\frac12$。

3. 3

   写出通项。 $\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$。

4. 4

   写出前 N 项和。 $S_N=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2N-1}-\frac{1}{2N+1}\right)\right]$。中间每个分数都正负各出现一次，所以只剩下首尾两项：$S_N=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2N+1}\right)$。

5. 5

   取极限。 当 $N\to\infty$ 时 $\frac{1}{2N+1}\to 0$，于是 $S_N\to\frac12$。

6. 6

   数值验证。 把前 $2\times10^{6}$ 项加起来得到 $0.49999988$，与闭式 $S_N=\frac12-\frac{1}{2(2N+1)}$ 一致。