求 x 趋于 0 时 (sin x)/x 的 1/(cos x − 1) 次幂的极限。

Step-by-step solution

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   先判定未定式的类型。 当 $x \to 0$ 时底数 $\frac{\sin x}{x} \to 1$，而指数 $\frac{1}{\cos x - 1} \to \pm\infty$（它取负值，因为 $\cos x - 1 < 0$）。这就是 $1^{\infty}$ 型，它的值确实是不确定的——什么都可能——所以必须算出来，不能靠猜。

2. 2

   取对数，把幂变成商。 记这个极限为 $L$。于是

   $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{\cos x - 1}$

   现在它是一个普通的 $0/0$ 型极限，用级数展开处理起来很干净。

3. 3

   把底数展开到 x² 阶。 由 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$：

   $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)$

   再用 $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$，取 $u = -\frac{x^2}{6}$：

   $\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)$

   首项是二次的，而不是一次的——这正是分母也必须展开到 $x^2$ 阶的原因。

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   把分母展开到同样的阶。 由 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$：

   $\cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$

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   相除，再取指数。 $x^2$ 这个因子约掉了，负号也一并约掉：

   $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2/6}{-x^2/2} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$

   因此

   $L = e^{1/3} \approx 1.39561$

6. 6

   数值确认。 把原式在 $x = 10^{-2}$ 处求值得到 $1.3956179$，在 $x = 10^{-4}$ 处得到 $1.3956124$，而 $e^{1/3} = 1.3956124$。这个函数是偶函数，所以 $x < 0$ 一侧取值相同——双侧极限存在。