求当 x 趋于 −4 时 (x² + 5x + 4)/(x² + 3x − 4) 的极限。

Step-by-step solution

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   先代入，判断这是哪一类极限。 分子：$(-4)^2+5(-4)+4=16-20+4=0$。分母：$(-4)^2+3(-4)-4=16-12-4=0$。形式是 $\tfrac00$，这说明上下都藏着一个公因式 $(x+4)$。

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   分解分子。 两个数相乘得 $4$、相加得 $5$，就是 $1$ 和 $4$： $x^2+5x+4=(x+1)(x+4).$

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   分解分母。 两个数相乘得 $-4$、相加得 $3$，就是 $4$ 和 $-1$： $x^2+3x-4=(x+4)(x-1).$

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   约掉公因式。 当 $x\ne-4$ 时， $\frac{(x+1)(x+4)}{(x+4)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}.$ 之所以能约，是因为求极限从来不需要在该点上取值。

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   把值代入约简后的式子。 $\lim_{x\to-4}\frac{x+1}{x-1}=\frac{-4+1}{-4-1}=\frac{-3}{-5}=\frac35.$ 在原式中取 $x=-4.001$ 和 $x=-3.999$ 分别得到 $0.60008$ 和 $0.59992$，恰好把 $0.6$ 夹在中间，与预期一致。