计算 F，即 y 从 −1.65 到 0、x 从 −y/1.1015 到 0 的二重积分 ∬ (14.1 − 11.515y) dx dy。

Step-by-step solution

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   注意被积函数里没有 x。 对 $x$ 而言它是常数，在区间上积分就等于乘以带符号的宽度： $\int_{-y/1.1015}^{0}(14.1-11.515y)\,dx = (14.1-11.515y)\left(0-\left(-\frac{y}{1.1015}\right)\right) = (14.1-11.515y)\frac{y}{1.1015}.$

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   往下算之前，先判定这个宽度的符号。 当 $y\in[-1.65,0]$ 时有 $-\tfrac{y}{1.1015}\ge 0$，也就是下限反而在上限 $0$ 之上，于是宽度 $\tfrac{y}{1.1015}$ 是负的。而 $14.1-11.515y>0$ 在整个区间上都成立，所以内层积分为负，$F$ 也必然是负数——这一步正是最容易把符号弄丢的地方。

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   化成一元积分并展开。 $F = \frac{1}{1.1015}\int_{-1.65}^{0}\left(14.1y-11.515y^2\right)dy.$

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   求原函数。 $\int\left(14.1y-11.515y^2\right)dy = 7.05y^2-\frac{11.515}{3}y^3.$

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   按正确的顺序代入上下限。 在 $y=0$ 处原函数取值为 $0$，所以 $F=\tfrac{1}{1.1015}\left[0 - G(-1.65)\right]$，其中由 $(-1.65)^2 = 2.7225$ 和 $(-1.65)^3 = -4.492125$ 得 $G(-1.65) = 7.05(2.7225)-\frac{11.515}{3}(-4.492125) = 19.193625+17.242273 = 36.435898.$

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   做除法，写出带符号的结果。 $F = \frac{-36.435898}{1.1015} \approx -33.0784.$ 直接对 $(14.1-11.515y)\tfrac{y}{1.1015}$ 在 $[-1.65,0]$ 上做数值积分，得到 $-33.0784368$，大小和符号都得到确认。如果题目想表示的是 $x=0$ 与 $x=-\tfrac{y}{1.1015}$ 之间的那个三角形区域、且上下限按从小到大书写，那么应当给出的值就是其绝对值 $33.0784$。