证明 x = sin(kt) + cos(kt) 满足微分方程 x″ + k²x = 0。

Step-by-step solution

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   先规划验证思路。 要确认一个候选解，就把它求两次导数、代回方程，再检查左边是否恒等于零 —— 对所有 $t$ 都为零，而不只是在几个抽样点上为零。

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   求一次导数，用链式法则。 内层函数是 $kt$，它的导数是 $k$，所以每一项都带出一个因子 $k$：

   $x'=k\cos(kt)-k\sin(kt)$

   注意符号的互换：$\sin$ 求导得 $+\cos$，而 $\cos$ 求导得 $-\sin$。

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   再求一次导数。 每一项又带出一个因子 $k$，符号再互换一次：

   $x''=-k^2\sin(kt)-k^2\cos(kt)$

   所以求两次导数正好产生 $k^2$ 并整体反号 —— 这是正弦、余弦的标志性特征。

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   提出 −k² 后认出原函数。

   $x''=-k^2\left(\sin(kt)+\cos(kt)\right)=-k^2x$

   因为括号里的东西恰好就是 $x$。

5. 5

   代回方程。

   $x''+k^2x=-k^2x+k^2x=0\ \checkmark$

   这个恒等式对所有 $t$、所有 $k$ 都成立，所以这个函数确实是解。

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   说明它在物理上和结构上的含义。 $x''+k^2x=0$ 就是简谐运动方程，而 $\{\cos(kt),\sin(kt)\}$ 张成了它整个二维解空间 —— 所以 $\sin(kt)+\cos(kt)$ 是其中两个系数都等于 $1$ 的那个成员。它可以改写成振幅—相位形式 $\sqrt2\sin\!\left(kt+\tfrac{\pi}{4}\right)$，由此看出振幅是 $\sqrt2$、周期是 $\tfrac{2\pi}{k}$。

7. 7

   做数值验证。 取 $k=1.7$，用步长 $10^{-4}$ 的二阶中心差分算出的 $x''$，在 $t=0.3,\,1.1,\,-2.0$ 处与 $-k^2x$ 在四位有效数字上吻合 ✓；振幅—相位改写形式在每个测试点上都与原式一致 ✓。