计算 −2y 的三重积分 dz dy dx，其中 x 从 −3 到 3，y 从 0 到根号 (9 − x²)，z 从 0 到 9 − x² − y²。给出精确值。

Step-by-step solution

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   动手之前先把积分限读成一个几何体。 $x$ 与 $y$ 的限描述的是 $x^2+y^2\le 9$ 且 $y\ge 0$ —— 半径为 $3$ 的圆盘的上半部分；$z$ 从平面 $z=0$ 一直到抛物面 $z=9-x^2-y^2$。认出这个半圆盘，最后一步的柱坐标交叉验算才做得下去。

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   先对 $z$ 积分，因为被积函数里没有 $z$。 内层积分就是被积函数乘以立体的高：

   $\int_{0}^{9-x^2-y^2}(-2y)\,dz=-2y\,(9-x^2-y^2)$

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   再对 $y$ 积分，留意两项是怎么并到一起的。 展开得 $-2y(9-x^2)+2y^3$，记 $R^2=9-x^2$，则

   $\Bigl[-(9-x^2)y^2+\tfrac12 y^4\Bigr]_{0}^{\sqrt{9-x^2}}=-(9-x^2)^2+\tfrac12(9-x^2)^2=-\tfrac12(9-x^2)^2$

   上限平方之后恰好就是 $9-x^2$，这正是两个 $R$ 的幂次能合并得如此干净的原因。

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   利用被积函数的偶性对 $x$ 积分。 因为 $(9-x^2)^2=81-18x^2+x^4$ 是偶函数，

   $-\frac12\int_{-3}^{3}\!\!\bigl(81-18x^2+x^4\bigr)dx=-\int_{0}^{3}\!\!\bigl(81-18x^2+x^4\bigr)dx$
   $=-\Bigl[81x-6x^3+\tfrac{x^5}{5}\Bigr]_0^3=-\left(243-162+\frac{243}{5}\right)=-\frac{648}{5}$

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   换柱坐标核对这个值。 令 $y=r\sin\theta$，$dV=r\,dz\,dr\,d\theta$，同一个立体写成 $0\le r\le 3$、$0\le\theta\le\pi$、$0\le z\le 9-r^2$：

   $\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{3}(-2r\sin\theta)(9-r^2)\,r\,dr\,d\theta=-2\left(\int_0^{\pi}\!\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_0^{3}\!r^2(9-r^2)\,dr\right)$

   两个因子分别是 $2$ 和 $81-\tfrac{243}{5}=\tfrac{162}{5}$，于是 $-2\cdot 2\cdot\tfrac{162}{5}=-\tfrac{648}{5}$ —— 走一条完全不同的路，得到了同一个精确值。

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   解释一下符号。 整个立体都位于 $y\ge 0$ 一侧，而被积函数 $-2y$ 在那里 $\le 0$，所以答案本就该是负的；如果算出正数，那立刻说明某处漏了个负号。