求 −5y 的三重积分，其中 x 从 −1 到 1，y 从 0 到 √(9 − x²)，z 从 0 到 9 − x² − y²。要求给出精确值。

Step-by-step solution

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   被积函数不含 z，所以先对 z 积。 由于 $-5y$ 关于 $z$ 是常数，内层积分就是被积函数乘以柱高：$\int_0^{9-x^2-y^2}(-5y)\,dz=-5y\left(9-x^2-y^2\right)$。

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   给依赖 x 的那个半径起个简写。 令 $a^2=9-x^2$，于是 $y$ 从 $0$ 积到 $a$，被积函数变成 $-5y(a^2-y^2)=-5\left(a^2y-y^3\right)$。给 $a$ 起个名字，既让代数式清爽，也让人一眼看出对 $y$ 的积分为什么会这么干净。

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   做对 y 的积分。 $\int_0^{a}\left(a^2y-y^3\right)dy=\frac{a^2\cdot a^2}{2}-\frac{a^4}{4}=\frac{a^4}{4}$，所以内两层的结果是 $-\frac{5a^4}{4}=-\frac54\left(9-x^2\right)^2$。

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   展开并利用关于 x 的偶性。 $\left(9-x^2\right)^2=81-18x^2+x^4$ 是偶函数，所以 $\int_{-1}^{1}=2\int_{0}^{1}$。外层积分即为 $-\frac54\cdot 2\int_0^1\left(81-18x^2+x^4\right)dx$。

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   算最后这个积分。 $\int_0^1\left(81-18x^2+x^4\right)dx=\left[81x-6x^3+\frac{x^5}{5}\right]_0^1=81-6+\frac15=\frac{376}{5}$。

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   合并得到精确值。 $-\frac54\cdot 2\cdot\frac{376}{5}=-\frac52\cdot\frac{376}{5}=-188$。

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   数值验证。 对原三重积分做自适应数值积分，得到 $-188.000000$（估计误差 $2\times10^{-12}$），与精确值一致。