设 A = x i + y j − z k，B = 3x i + 2y j + z k。求 A × B 先对 x 再对 y 的混合二阶偏导数，并在点 (1, 2, 1) 处求值。

Step-by-step solution

1. 1

   先做叉乘，再求导。 要逐分量地对叉乘求导，前提是先把分量算出来，所以先展开行列式

   $\vec A\times\vec B=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ x&y&-z\\ 3x&2y&z\end{vmatrix}$

   另一条路 —— 用乘积法则 $\partial_x(\vec A\times\vec B)=\partial_x\vec A\times\vec B+\vec A\times\partial_x\vec B$ —— 同样正确，但在这里要绕得多。

2. 2

   按分量逐一展开行列式。

   $\mathbf i:\ (y)(z)-(-z)(2y)=yz+2yz=3yz$
   $\mathbf j:\ -\big[(x)(z)-(-z)(3x)\big]=-\big[xz+3xz\big]=-4xz$
   $\mathbf k:\ (x)(2y)-(y)(3x)=2xy-3xy=-xy$

   于是

   $\vec A\times\vec B=3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k$

   $\mathbf j$ 项前面那个变号来自代数余子式展开，也是最常出错的地方。

3. 3

   对 $x$ 求偏导，把 $y$ 和 $z$ 当作常数。

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf i-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k$

   $\mathbf i$ 分量里压根没有 $x$，所以它立刻就消失了。

4. 4

   再对 $y$ 求偏导。

   $\frac{\partial}{\partial y}\left(-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf j-1\,\mathbf k=-\mathbf k$

   活下来的每一项都是一次的，所以这个二阶偏导数是一个常向量：在任何点上答案都是 $-\mathbf k$，包括 $(1,2,1)$。题目给的坐标其实完全用不上 —— 这一点值得在答案里明说。

5. 5

   交换求导次序，用克莱罗定理检验。 先对 $y$ 求导得 $3z\,\mathbf i-x\,\mathbf k$，再对 $x$ 求导得 $-\mathbf k$。两种次序结果一致 —— 对多项式（因而光滑）的向量场来说，本该如此。