求 1 除以 Dⁿ + Ka 的 n 次方根关于 D 的不定积分，其中 K、a、n 都是常数。

Step-by-step solution

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   先判断有没有初等答案。 对一般的 $n$，被积函数 $(D^n+Ka)^{-1/n}$ 没有初等原函数 —— 只有 $n = 1$ 和 $n = 2$ 才有。所以我们要找的是一个有名字的特殊函数，而不是用对数和根式写出的闭式。最后只有 $n = 2$ 这一档能化回初等形式。

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   把常数提出来，把括号标准化。 先把 $Ka$ 从括号里提出去，让含变量的部分变成 $1$ 的一个小扰动：

   $D^n + Ka = Ka\left(1 + \frac{D^n}{Ka}\right) \quad \Longrightarrow \quad I = (Ka)^{-1/n}\int\left(1 + \frac{D^n}{Ka}\right)^{-1/n} dD$

   这是标准套路：它把一个任意常数变成了无量纲的比值 $t = D^n/(Ka)$。

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   用广义二项级数展开。 当 $\left|D^n/(Ka)\right| < 1$ 时，

   $\left(1 + u\right)^{-1/n} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\tfrac1n\right)_k}{k!}\,(-u)^k, \qquad u = \frac{D^n}{Ka}$

   其中 $\left(\tfrac1n\right)_k$ 是上升阶乘。这样每一项都变成了 $D$ 的普通幂次。

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   逐项积分。 因为 $\int D^{nk}\,dD = \dfrac{D^{nk+1}}{nk+1}$，而 $nk + 1 = n\left(k + \tfrac1n\right)$，所以

   $\int\left(1+\frac{D^n}{Ka}\right)^{-1/n} dD = D\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\tfrac1n\right)_k\left(\tfrac1n\right)_k}{\left(1+\tfrac1n\right)_k\,k!}\left(-\frac{D^n}{Ka}\right)^{k}$

   由 $1/(nk+1)$ 多出来的那个因子 $\tfrac{1/n}{k + 1/n} = \tfrac{\left(\frac1n\right)_k}{\left(1+\frac1n\right)_k}$，正是把二项级数变成 $_2F_1$ 的关键。

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   认出高斯超几何函数。 上面的级数就是 $_2F_1\!\left(\tfrac1n,\tfrac1n;1+\tfrac1n;\,z\right)$，其中 $z = -D^n/(Ka)$，于是

   $I = \frac{D}{(Ka)^{1/n}}\;{}_2F_1\!\left(\frac1n,\ \frac1n;\ 1+\frac1n;\ -\frac{D^{n}}{Ka}\right) + C$

   在 $n = 2,\,2.5,\,3,\,4$ 处对这个级数做数值求导，结果与 $(D^n+Ka)^{-1/n}$ 在小数点后十位上都吻合，说明各个常数没有写错。

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   看 n = 2 这个特殊情形。 取 $n = 2$，积分就退化成标准的反双曲函数积分：

   $\int\frac{dD}{\sqrt{D^2 + Ka}} = \operatorname{arcsinh}\!\left(\frac{D}{\sqrt{Ka}}\right) + C = \ln\!\left|D + \sqrt{D^2+Ka}\right| + C'$

   两种写法只相差一个常数 $\tfrac12\ln(Ka)$，而且求导回去都得到 $(D^2+Ka)^{-1/2}$。