求 1 除以 (3 cos³x + sin 2x + sin²x) 从 −π/4 到 3π/4 的积分。

Step-by-step solution

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   动手换元之前，先检查分母有没有零点。 记 $D(x) = 3\cos^3x+\sin 2x+\sin^2x$。只要 $D$ 在积分区间内部为零，那么任何万能代换（半角代换、魏尔斯特拉斯代换）都是白费功夫，因为这时积分根本就不存在。

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   在两个端点和中间几点上算 D。 $D\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = \tfrac{3\sqrt2}{4}-\tfrac12 \approx 0.5607>0$；$D(0)=3>0$；$D\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0+0+1 = 1>0$；但 $D\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = -\tfrac{3\sqrt2}{4}-\tfrac12 \approx -1.5607<0$。

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   用介值定理。 $D$ 是连续的，且在 $\tfrac{\pi}{2}$ 与 $\tfrac{3\pi}{4}$ 之间变号，所以这一段里存在 $c$ 使 $D(c)=0$。数值上这个唯一的零点在 $c \approx 1.9569768.$ 于是被积函数 $\tfrac{1}{D(x)}$ 在积分区间的内部有一个无穷间断点。

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   再确认这个零点是单零点。 $D'(c) \approx -3.3131 \neq 0$，所以在 $c$ 附近由泰勒展开有 $D(x) \approx D'(c)(x-c)$，从而 $\frac{1}{D(x)} \approx \frac{1}{D'(c)}\cdot\frac{1}{x-c}.$ 是单零点而不是二重零点，这恰恰是对收敛性最不利的情形。

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   与模型积分 1/(x − c) 作比较。 $\displaystyle\int\frac{dx}{x-c} = \ln|x-c|$，当 $x\to c$ 时它趋于 $-\infty$。两侧的瑕积分都发散，而且一侧趋于 $-\infty$、另一侧趋于 $+\infty$，所以也没有什么主值相消能把普通积分救回来。

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   下结论。 积分 $\int_{-\pi/4}^{3\pi/4}\frac{dx}{3\cos^3x+\sin 2x+\sin^2x}$ 发散，没有有限值。只有在 $x=c$ 处取柯西主值才是有限的；如果题目要的是主值，就必须明确写清楚。