求 y = (eˣ + 1)/x³ 的导数。

Step-by-step solution

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   把商改写成乘积。 用负指数把 $x^3$ 挪到分子上，就能避开商法则那个笨重的分母：

   $y=(e^x+1)\,x^{-3}$

   定义域要去掉 $x=0$，原函数在那里没有定义。

2. 2

   摆好乘法法则。 取 $u=e^x+1$，$v=x^{-3}$，则

   $u'=e^x,\qquad v'=-3x^{-4}$

   注意 $u'=e^x$ 而不是 $e^x+1$——常数 $1$ 的导数是零。

3. 3

   套用 $(uv)'=u'v+uv'$。

   $y'=e^x\cdot x^{-3}+(e^x+1)\left(-3x^{-4}\right)=\frac{e^x}{x^3}-\frac{3(e^x+1)}{x^4}$

4. 4

   把两项通分到公分母 $x^4$。 第一项上下同乘 $\tfrac{x}{x}$：

   $y'=\frac{x e^x}{x^4}-\frac{3(e^x+1)}{x^4}=\frac{x e^x-3e^x-3}{x^4}$

5. 5

   把指数函数提出来，得到最清爽的形式。

   $y'=\frac{e^x(x-3)-3}{x^4}$

   那个孤零零的 $-3$ 没法并进括号里，因为它来自分子中常数 $1$ 的求导。

6. 6

   取几个点做数值验证。 与步长 $10^{-6}$ 的对称差商比较：$x=0.6$ 时两者都是 $-56.8911$；$x=1.7$ 时都是 $-1.21121$；$x=-2.2$ 时都是 $-0.152661$ ✓——其中特意取了一个负的 $x$，因为 $x^3$ 是奇次幂，符号在那里很关键。