设 h(x) = (2x + 1)⁵(x² − 1)³，下面哪个式子等于 h′(x)？

Step-by-step solution

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   先看清最外层是一个乘积。 $h$ 就是 $u\cdot v$，其中

   $u=(2x+1)^{5},\qquad v=\left(x^{2}-1\right)^{3},$

   所以要用乘法法则 $h'=u'v+uv'$。选项 (C) 和 (D) 都只有一项，已经错了——它们是把两个导数直接相乘，而不是用乘法法则。

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   用链式法则对 u 求导。 把指数拿下来、指数减一，再乘以括号里那部分的导数：

   $u'=5(2x+1)^{4}\cdot\frac{d}{dx}(2x+1)=5(2x+1)^{4}\cdot 2=10(2x+1)^{4}.$

   多出来的这个因子 $2$，正是 (B) 与 (A) 的区别所在。

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   同样用链式法则对 v 求导。

   $v'=3\left(x^{2}-1\right)^{2}\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}-1\right)=3\left(x^{2}-1\right)^{2}\cdot 2x=6x\left(x^{2}-1\right)^{2}.$

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   按乘法法则拼起来。

   $h'(x)=10(2x+1)^{4}\left(x^{2}-1\right)^{3}+6x(2x+1)^{5}\left(x^{2}-1\right)^{2},$

   这正是选项 (B)。

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   说说 (A) 为什么最容易误选。 选项 (A) 恰好是把两个内层导数都漏掉的结果——它用的是 $5$ 和 $3$，而不是 $10$ 和 $6x$。只要括号里面不是单纯的 $x$，那个内层导数就必须出现。

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   做一次符号验证。 对原式求导再减去选项 (B)，化简结果恰好是 $0$，确认选择无误。另外还可以把公因式 $(2x+1)^4(x^2-1)^2$ 提出来：$h'(x)=(2x+1)^4(x^2-1)^2\left[10(x^2-1)+6x(2x+1)\right]=(2x+1)^4(x^2-1)^2\left(22x^2+6x-10\right)$。