求 (2x² + x − 3)/|x − 1| 当 x 趋于 1 时的极限，或说明它不存在。

Step-by-step solution

1. 1

   先确认这是不定式。 在 $x=1$ 处分子是 $2+1-3=0$，分母是 $|0|=0$，所以式子是 $\tfrac00$ 型，直接代入什么也得不到。与同一个分子在 $x=-2$ 处的情形不同，这里极限点恰好是绝对值的零点，所以结论会有本质上的区别。

2. 2

   用拆中项的办法分解分子。 对 $2x^{2}+x-3$，要找两个数，乘积是 $2\times(-3)=-6$，和是 $1$：它们是 $3$ 与 $-2$。于是

   $2x^{2}+3x-2x-3=x(2x+3)-1(2x+3)=(x-1)(2x+3).$

   因式 $(x-1)$ 恰好和绝对值里的东西一致，这正是必须做单侧分析的原因。

3. 3

   求左极限。 当 $x<1$ 时 $x-1<0$，所以 $|x-1|=-(x-1)$，于是

   $\frac{(x-1)(2x+3)}{-(x-1)}=-(2x+3)\ \longrightarrow\ -(2+3)=-5.$

   因此 $\displaystyle\lim_{x\to1^{-}}=-5$。

4. 4

   求右极限。 当 $x>1$ 时 $x-1>0$，所以 $|x-1|=x-1$，于是

   $\frac{(x-1)(2x+3)}{x-1}=2x+3\ \longrightarrow\ 2+3=5.$

   因此 $\displaystyle\lim_{x\to1^{+}}=5$。注意符号形态与上一种情形正好镜像：分子取正值的那一侧换到了另一边。

5. 5

   下结论。 由于 $-5\ne5$，双侧极限不存在；函数在 $x=1$ 处有一个高度为 $10$ 的跳跃。可以对照 $\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}$：那里分母不为零，极限就是简单的 $\tfrac33=1$。这里的教训是：只有当绝对值内部的表达式在所讨论的那一点上为零时，它才会带来麻烦。