计算累次积分：x 从 0 到 1 积分，内层对 y 从 y = x 积到 y = √(1 − x²) + 1，被积函数为 y。

Step-by-step solution

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   先算内层积分，这时 $x$ 当常数看。 被积函数就是 $y$，所以

   $\int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}+1}y\,dy=\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}+1}=\frac12\Bigl(\bigl(\sqrt{1-x^{2}}+1\bigr)^{2}-x^{2}\Bigr).$

   展开之前先留意：在 $[0,1]$ 上两个限是相容的——上限 $\sqrt{1-x^{2}}+1$ 至少为 $1$，而下限 $x$ 至多为 $1$，所以积分区域没有退化。

2. 2

   把平方展开——根号 $\sqrt{\;}$ 就是在这里留下来的。

   $\bigl(\sqrt{1-x^{2}}+1\bigr)^{2}=(1-x^{2})+2\sqrt{1-x^{2}}+1=2-x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}.$

   交叉项 $2\sqrt{1-x^{2}}$ 是唯一的非多项式部分，其余都是初等的。

3. 3

   化简内层结果。

   $\frac12\Bigl(2-x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}-x^{2}\Bigr)=\frac12\Bigl(2-2x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}\Bigr)=1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}.$

   于是二重积分变成了一个单积分 $\displaystyle\int_{0}^{1}\bigl(1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}\bigr)dx$。

4. 4

   拆开逐块计算。 前两块可以直接写出：

   $\int_{0}^{1}1\,dx=1,\qquad \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac13.$

   至于第三块，$y=\sqrt{1-x^{2}}$ 在 $[0,1]$ 上画出的正是单位圆在第一象限的四分之一弧，所以它的积分就是四分之一圆的面积 $\pi/4$ —— 不需要三角换元。

5. 5

   合并并检验。

   $1-\frac13+\frac{\pi}{4}=\frac23+\frac{\pi}{4}.$

   数值上 $2/3+\pi/4=1.4520648301$，而对 $1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}$ 在 $[0,1]$ 上作自适应数值积分得到 $1.4520648301$ —— 十位小数完全一致。