求由 (x^2 + y^2 + z^2)^2 ≤ a^3 z 所确定的区域的体积，其中 a > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   把不等式翻译到球坐标里。 由 $x^2+y^2+z^2=\rho^2$ 和 $z=\rho\cos\varphi$，定义条件变成

   $\rho^4\le a^3\rho\cos\varphi\;\Longleftrightarrow\;\rho^3\le a^3\cos\varphi\;\Longleftrightarrow\;\rho\le a\left(\cos\varphi\right)^{1/3}$

   之所以能约掉一个 $\rho$，是因为在原点之外总有 $\rho>0$。右端要求 $\cos\varphi\ge 0$，所以这个立体整个落在上半空间 $0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{2}$ 里——这在意料之中，因为 $a^3z\ge 0$ 已经逼出了 $z\ge 0$。

2. 2

   列出体积积分。 这个立体是绕 $z$ 轴的旋转体（式子里根本没出现 $\theta$），所以

   $V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}\!\!\int_0^{a(\cos\varphi)^{1/3}}\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$

   因子 $\rho^2\sin\varphi$ 就是球坐标下的体积元；把它漏掉，是这个积分出错最标准的方式。

3. 3

   先沿径向积分——三次方根就此消失。 对固定的 $\varphi$，

   $\int_0^{a(\cos\varphi)^{1/3}}\rho^2\,d\rho=\frac{\left[a\left(\cos\varphi\right)^{1/3}\right]^3}{3}=\frac{a^3\cos\varphi}{3}$

   这正是整道题的巧妙之处：把半径立方，恰好抵消了 $\tfrac13$ 这个指数，把一个别扭的边界变成了一个干干净净的余弦。

4. 4

   再算极角方向的积分。 剩下的是教科书式的换元：

   $\int_0^{\pi/2}\frac{a^3\cos\varphi}{3}\sin\varphi\,d\varphi=\frac{a^3}{3}\left[\frac{\sin^2\varphi}{2}\right]_0^{\pi/2}=\frac{a^3}{3}\cdot\frac12=\frac{a^3}{6}$

5. 5

   乘上转一圈的角度，再检查量纲。 关于 $\theta$ 的积分贡献 $2\pi$：

   $V=2\pi\cdot\frac{a^3}{6}=\frac{\pi a^3}{3}$

   两重检验。从量纲上看答案必须按 $a^3$ 的方式缩放，它确实如此——把 $a$ 换成 $ka$，整个立体的线度就放大 $k$ 倍。从数值上看，取 $a=1$，在方盒 $[-1.2,1.2]^2\times[0,1.2]$ 上对 $(\rho^2)^2\le z$ 做蒙特卡罗抽样估计同一个体积，得到约 $1.045$，而 $\tfrac{\pi}{3}\approx 1.0472$ $\checkmark$。