使函数 f(x) = (mx − 4)/(x − m) 在区间 (0, +∞) 上递增的整数 m 有多少个？

Step-by-step solution

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   用商法则求导，注意分子会塌缩。

   $f'(x)=\frac{m(x-m)-(mx-4)\cdot 1}{(x-m)^2}=\frac{mx-m^2-mx+4}{(x-m)^2}=\frac{4-m^2}{(x-m)^2}$

   含 $x$ 的项互相抵消，所以 $f'$ 的分子是一个常数。这是分式线性函数 $\frac{ax+b}{cx+d}$ 的共性：导数的符号由 $ad-bc$ 决定，在同一支上永远不会变号。

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   把 $f'$ 的符号转化成关于 $m$ 的条件。 在 $f$ 有定义的地方分母 $(x-m)^2$ 恒为正，所以

   $f'(x)>0\iff 4-m^2>0\iff -2<m<2.$

   端点必须排除而不能取到：$m=\pm2$ 时 $f'\equiv0$，此时 $f$ 退化成常数 $2$ 或 $-2$（例如 $m=2$ 时 $\frac{2x-4}{x-2}=2$），并不是递增的。

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   再补上「整个区间必须落在同一支内」这个条件。 导数为正只能保证函数在定义域的每个连通片上递增。$x=m$ 是竖直渐近线，如果它落在 $(0,+\infty)$ 里，函数在那里会从 $+\infty$ 跳到 $-\infty$，就谈不上在整个区间上递增。因此还需要

   $m\notin(0,+\infty)\quad\Longleftrightarrow\quad m\le 0.$

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   拿 $m=1$ 看看具体是怎么失效的。 此时 $f(x)=\frac{x-4}{x-1}$，而 $f(0.5)=7$、$f(2)=-2$。导数在 $x=1$ 两侧都是正的，可函数跨过渐近线之后反而下降了——这正是那个附加条件要拦住的陷阱。

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   把两个条件取交集。

   $-2<m<2\quad\text{且}\quad m\le 0\qquad\Longrightarrow\qquad -2<m\le 0$

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   数一数其中的整数。 $(-2,\,0]$ 里的整数是 $m=-1$ 和 $m=0$，一共 $\mathbf{2}$ 个。顺手验一下 $m=0$：$f(x)=-\frac{4}{x}$ 在 $(0,\infty)$ 上从 $-\infty$ 升向 $0$——确实是递增的。