设 f 和 g 具有任意阶导数，证明 F = fg 的 n 阶导数满足 F^(n) = j 从 0 到 n 求和 C(n,j) f^(n−j) g^(j)。

Step-by-step solution

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   先搭好归纳的框架。 要证的是关于每一个自然数 $n$ 的命题，所以先验证 $n=1$，再说明「在 $n$ 成立」能推出「在 $n+1$ 也成立」。公式在形式上和二项式定理如此相似，这正提示我们收尾时要用帕斯卡法则（组合数递推公式）。

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   基础情形 n = 1。 右端为

   $\binom10 f'g+\binom11 fg'=f'g+fg'$

   这恰好就是普通的乘积求导法则，所以公式在 $n=1$ 时成立。

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   假定公式在 n 成立，再求一次导。 对归纳假设中的每一项用乘积法则：

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\left[f^{(n-j+1)}g^{(j)}+f^{(n-j)}g^{(j+1)}\right]$

   它拆成两个和式：一个来自 $f$ 多求了一次导，另一个来自 $g$ 多求了一次导。

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   给第二个和式换指标，让两个和式对齐。 在第二个和式中令 $k=j+1$，它就变成 $\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}f^{(n+1-k)}g^{(k)}$。把 $k$ 改名回 $j$ 之后，两个和式带的就是同一个因子 $f^{(n+1-j)}g^{(j)}$：

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}f^{(n+1-j)}g^{(j)}+\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}f^{(n+1-j)}g^{(j)}$

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   用帕斯卡法则合并。 当 $1\le j\le n$ 时，$f^{(n+1-j)}g^{(j)}$ 前面的系数是

   $\binom{n}{j}+\binom{n}{j-1}=\binom{n+1}{j}$

   两端的项也对得上：$j=0$ 时系数为 $\binom{n}{0}=1=\binom{n+1}{0}$，$j=n+1$ 时系数为 $\binom{n}{n}=1=\binom{n+1}{n+1}$。

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   完成归纳。

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}f^{(n+1-j)}g^{(j)}$

   这就是把 $n$ 换成 $n+1$ 后的公式。由数学归纳法，它对每一个自然数 $n$ 都成立。

   $\boxed{F^{(n)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}f^{(n-j)}g^{(j)}}$

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   把 n = 2 的情形显式验一遍。 公式预言 $F''=f''g+2f'g'+fg''$。手算一下：对 $F'=f'g+fg'$ 再求导得 $f''g+f'g'+f'g'+fg''=f''g+2f'g'+fg''$ ✓ —— 系数 $1,2,1$ 正是杨辉三角（帕斯卡三角）的第二行，与二项式类比给出的预期完全吻合。