计算极坐标累次积分：被积表达式为 2cos(θ)sin(θ)/r² 乘 r dr，r 从 √(cos θ sin θ) 到 1，θ 从 0 到 π/2。

Step-by-step solution

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   先化简被积函数。 极坐标的面积元本身就带了一个因子 $r$，正好约掉分母上的一次幂：

   $\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r^{2}}\cdot r=\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r}=\frac{\sin2\theta}{r}$

   这里用的是倍角公式 $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$。被积函数里出现 $\tfrac1r$，就是在提示接下来会冒出一个对数。

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   先对 $r$ 做内层积分。 $\theta$ 固定时分子是常数：

   $\int_{\sqrt{\cos\theta\sin\theta}}^{1}\frac{\sin2\theta}{r}\,dr=\sin2\theta\Big[\ln r\Big]_{\sqrt{\cos\theta\sin\theta}}^{1}=-\sin2\theta\,\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}$

   因为 $\ln1=0$。下限小于 $1$，所以它的对数是负数，整个表达式反而是正的。

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   用倍角公式改写这个对数。 由于 $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin2\theta$，

   $-\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}=-\tfrac12\ln\!\left(\tfrac12\sin2\theta\right)=-\tfrac12\left(\ln\sin2\theta-\ln2\right)$

   于是剩下的积分就是

   $I=-\frac12\int_{0}^{\pi/2}\sin2\theta\left(\ln\sin2\theta-\ln2\right)d\theta$

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   换元 $u=2\theta$。 此时 $d\theta=\tfrac{du}{2}$，$u$ 从 $0$ 跑到 $\pi$：

   $I=-\frac14\left[\int_{0}^{\pi}\sin u\,\ln\sin u\,du-\ln2\int_{0}^{\pi}\sin u\,du\right]$

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   套用两个标准积分。 初等的那个是 $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin u\,du=2$。带对数的那个是经典结果

   $\int_{0}^{\pi}\sin u\,\ln\sin u\,du=2\ln2-2$

   两个一起代入：

   $I=-\frac14\left[(2\ln2-2)-2\ln2\right]=-\frac14(-2)=\frac12$

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   做数值验证。 对化简后的 $\theta$ 被积函数 $-\sin2\theta\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}$ 在 $(0,\tfrac\pi2)$ 上用辛普森法则，得到 $0.4999999990$ ✓，与 $\tfrac12$ 到小数点后八位吻合。注意：虽然对数在两个端点都发散，被积函数依然可积，因为 $\sin2\theta$ 趋于零的速度比 $\ln$ 发散的速度更快。