求无穷级数 2^n / n! 从 n = 0 到无穷的和。

Step-by-step solution

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   求和之前先确认级数收敛。 用比值判别法，

   $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^{n}/n!}=\frac{2}{n+1}\longrightarrow 0<1$

   所以级数绝对收敛；其实把 $2$ 换成任何底数结论都一样——阶乘迟早会压过指数式的增长。

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   把级数对上一个已知的展开式。 指数函数的麦克劳林级数是

   $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},\qquad \text{适用范围：一切实数 }x$

   题给的级数正是它在 $x=2$ 处的样子，所以根本不用动手求和——认出来就够了。

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   直接读出结果。

   $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}\approx 7.389056$

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   留意求和的起始下标。 如果求和是从 $n=1$ 开始的，那就少了 $n=0$ 这一项 $\tfrac{2^0}{0!}=1$：

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}-1\approx 6.389056$

   答案是哪一个全由这个细节决定，所以只要下标写得不够清楚，就值得把它明确说出来。

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   用部分和检验。 把前几项加起来：$1+2+2+1.3333+0.6667+0.2667+0.0889+0.0254=7.3809$，已经与 $e^2=7.389056$ 相差约 $0.0081$。剩下的尾巴主要由 $\tfrac{2^8}{8!}=0.00635$ 贡献，正好对上观察到的这个差距 $\checkmark$。