双对数函数 Li₂(x) 在 x = 1 处可导吗？请说明理由。

Step-by-step solution

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   先确认函数在 $x=1$ 处到底有没有定义。 这个级数的收敛半径是 $1$，而在端点 $x=1$ 处它退化成 $p=2$ 的收敛 $p$ 级数：

   $\operatorname{Li}_{2}(1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx1.644934.$

   所以函数在那里有定义，而且由阿贝尔定理它还是左连续的。可导则是比连续严格更强的要求。

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   在收敛圆内部对级数逐项求导。 当 $|x|<1$ 时逐项求导是合法的：

   $\operatorname{Li}_{2}'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n^{2}}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.$

   里面那个和正是墨卡托级数 $-\ln(1-x)$，于是

   $\operatorname{Li}_{2}'(x)=-\frac{\ln(1-x)}{x},\qquad |x|<1.$

   在 $x=0.99$ 处做数值检验：对级数取中心差商得 $4.651687$，而 $-\frac{\ln(0.01)}{0.99}=4.651687$ ✓。

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   考察 $x\to1^{-}$ 时导数的走势。 当 $x$ 从下方趋近 $1$ 时，$1-x\to0^{+}$，于是 $\ln(1-x)\to-\infty$，因此

   $-\frac{\ln(1-x)}{x}\longrightarrow+\infty.$

   斜率无界地增长：$x=0.9$ 时是 $2.56$，$x=0.99$ 时是 $4.65$，$x=0.999$ 时是 $6.91$ —— 按 $\ln\frac{1}{1-x}$ 的速度上升，慢，但没有上界。

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   回到导数的定义下结论。 既然 $\operatorname{Li}_{2}$ 在 $(0,1)$ 上可导且导数趋于 $+\infty$，由中值定理，差商 $\frac{\operatorname{Li}_{2}(1)-\operatorname{Li}_{2}(x)}{1-x}$ 也必然发散。所以左导数是 $+\infty$，有限的导数并不存在：

   $\operatorname{Li}_{2}\text{ 在 }x=1\text{ 处连续但不可导}.$

   从几何上看，图像在那里有一条竖直切线。

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   再从局部展开看一眼。 兰登恒等式 $\operatorname{Li}_{2}(x)+\operatorname{Li}_{2}(1-x)=\frac{\pi^{2}}{6}-\ln x\ln(1-x)$ 给出，令 $y=1-x\to0^{+}$，

   $\operatorname{Li}_{2}(x)=\frac{\pi^{2}}{6}+(1-x)\ln(1-x)-(1-x)+O\!\left((1-x)^{2}\right).$

   在 $y=0.001$ 处做数值比较：展开式给出 $1.63702631$，真值是 $1.63702261$ ✓。真正坏事的是 $y\ln y$ 这一项 —— 它的导数 $\ln y+1$ 会爆掉，这从第二个角度确认了不可导。