求 sin(x²) + cos(y²) 在区域 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上的二重积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把和式拆成两个二重积分。 积分是线性的，所以

   $\iint \left(\sin(x^2) + \cos(y^2)\right)dA = \iint \sin(x^2)\,dA + \iint \cos(y^2)\,dA$

   这一步是关键：拆开后每一块都只依赖一个变量，尽管两者都写不出初等原函数。

2. 2

   利用「少一个变量」把每一块降维。 第一块里 $\sin(x^2)$ 不含 $y$，所以对 $y$ 的内层积分只是乘上区间长度 $1$：

   $\int_0^1\!\!\int_0^1 \sin(x^2)\,dy\,dx = \int_0^1 \sin(x^2)\left(\int_0^1 dy\right)dx = \int_0^1 \sin(x^2)\,dx$

   第二块同理（先对 $x$ 积），化成 $\int_0^1 \cos(y^2)\,dy$。

3. 3

   认出剩下的是菲涅耳积分。 把两个哑变量都改记为 $t$：

   $I = \int_0^1 \sin(t^2)\,dt + \int_0^1 \cos(t^2)\,dt$

   $\sin(t^2)$ 和 $\cos(t^2)$ 都没有初等原函数——它们定义的正是菲涅耳函数 $S$ 和 $C$（相差通常的 $\pi/2$ 缩放）。所以精确答案是 $\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\left[S\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\right) + C\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\right)\right]$，实用的答案则是一个数值。

4. 4

   两个都做数值计算。 用高阶高斯–勒让德求积得到

   $\int_0^1 \sin(t^2)\,dt = 0.3102683, \qquad \int_0^1 \cos(t^2)\,dt = 0.9045242$

   用级数展开也能印证量级：$\sin(t^2) \approx t^2$ 积出来约 $\tfrac13$，$\cos(t^2) \approx 1 - \tfrac{t^4}{2}$ 积出来约 $1 - \tfrac{1}{10} = 0.9$。

5. 5

   相加，并与直接的二维数值积分对照。

   $I \approx 0.3102683 + 0.9045242 = 1.2147925$

   不做拆分、直接在正方形上对原二重积分做数值计算，得到 $1.21479254$——小数点后八位完全一致，既验证了拆分的正确性，也验证了两个一维结果。