求 (x/8)(x² + xy) 在区域 0 ≤ x ≤ 2、0 ≤ y ≤ 2 上的二重积分。

Step-by-step solution

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   别急着积分，先把被积函数展开。 像 $\frac{x}{8}(x^2 + xy)$ 这样的乘积，化成单项式之和以后要好积得多：

   $\frac{x}{8}(x^2 + xy) = \frac{x^3}{8} + \frac{x^2 y}{8}$

   现在每一项都是 $x$ 的简单幂乘以 $y$ 的简单幂，两次积分都很基本。

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   把 x 当常数，先对 y 积分。 $x^3/8$ 关于 $y$ 是常数，而 $x^2y/8$ 要用 $y$ 的幂函数法则：

   $\int_0^2 \left(\frac{x^3}{8} + \frac{x^2 y}{8}\right) dy = \left[\frac{x^3 y}{8} + \frac{x^2 y^2}{16}\right]_0^2$

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   代入 y 的上下限。 在 $y = 2$ 处（$y = 0$ 那一端什么都不贡献）：

   $\frac{2x^3}{8} + \frac{4x^2}{16} = \frac{x^3}{4} + \frac{x^2}{4}$

   注意 $y^2$ 那一项给出的是 $4$ 而不是 $2$ —— 忘记把上限平方，正是算术出错最常见的地方。

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   再把结果对 x 积分。 先把公因子 $\tfrac14$ 提出来：

   $\frac{1}{4}\int_0^2 (x^3 + x^2)\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{1}{4}\left(4 + \frac{8}{3}\right)$

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   把算术做完，再掂量一下量级对不对。

   $\frac{1}{4} \cdot \frac{20}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$

   在这个正方形上做数值积分，结果前八位数字都一致。再做个合理性检验：被积函数的取值范围是 $0$ 到 $\frac{2}{8}(4 + 4) = 2$，区域面积为 $4$，所以 $\tfrac53$ 稳稳落在可能的范围里。（那个 $1/8$ 恰好是让 $\frac{x}{8}(x+y)$ 在这个正方形上成为概率密度的常数——本题的被积函数正是这个密度乘以 $x$。）