求 xz 在区域 −1 ≤ x ≤ 1，x² ≤ y ≤ 1，0 ≤ z ≤ y 上的三重积分。

Step-by-step solution

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   从积分限读出嵌套次序。 这些上下限已经按 $dz\,dy\,dx$ 正确地叠好了：最内层的限（从 $0$ 到 $y$）可以含 $y$ 和 $x$，中间一层（从 $x^2$ 到 $1$）可以含 $x$，而最外层必须是常数。所以不需要换序。

2. 2

   先对 z 积分。 此时 $x$ 是常数：

   $\int_0^y xz\,dz = x\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^y = \frac{xy^2}{2}$

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   再对 y 从 x² 积到 1。 现在充当常数的是 $x/2$：

   $\int_{x^2}^{1} \frac{xy^2}{2}\,dy = \frac{x}{2}\left[\frac{y^3}{3}\right]_{x^2}^{1} = \frac{x}{6}\left(1 - x^6\right)$

   注意 $(x^2)^3 = x^6$，不是 $x^5$——幂的乘方，指数是相乘的。

4. 4

   动手算之前，先看剩下这个被积函数的奇偶性。

   $\frac{x(1 - x^6)}{6} = \frac{x - x^7}{6}$

   $x$ 和 $x^7$ 都是奇函数，所以整个被积函数是奇函数：$f(-x) = -f(x)$。

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   利用区间的对称性。 最外层区间 $[-1, 1]$ 关于 $0$ 对称，而任何奇函数在这样的区间上积分都等于零：

   $\frac{1}{6}\int_{-1}^{1}(x - x^7)\,dx = 0$

   从题目的设定里也能看出几何上的原因：积分区域在 $x \mapsto -x$ 下不变（限制条件 $x^2 \le y \le 1$ 和 $0 \le z \le y$ 都没变化），而被积函数 $xz$ 却要变号，所以各处的贡献两两抵消。

6. 6

   验证。 逐项直接算，$\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$，$\int_{-1}^{1} x^7\,dx = 0$。用数值三重求积算出的是 $-5 \times 10^{-20}$，也就是机器精度下的零。在最外层就看出对称性，可以把整套计算全省掉——但前提是你先确认过区域确实对称。