求 x 从右侧趋于 0 时，(x / ((e^x − 1) cos √x)) 的 1 / ((1 + sin(x²))^(1/x) − 1) 次幂的极限。在 e^(1/2)、e^(−1/2)、e、1 中选择。

Step-by-step solution

1. 1

   先判定未定式类型，并搭好标准的化归框架。 底数趋于 $1$，指数无限增大，所以这是 $1^{\infty}$ 型。记 $L=\lim u^{v}$，用

   $L=\exp\left(\lim v\ln u\right)\approx\exp\left(\lim v(u-1)\right),$

   因为当 $u\to 1$ 时 $\ln u\sim u-1$。接下来一切都取决于 $u-1\to 0$ 的速度与 $v\to\infty$ 的速度谁快谁慢。

2. 2

   展开指数里的分母。 当 $x$ 很小时 $\sin x^{2}=x^{2}+O(x^{6})$，所以

   $\left(1+\sin x^{2}\right)^{1/x}=\exp\left(\frac{\ln\left(1+x^{2}+\cdots\right)}{x}\right)=\exp\left(x+O(x^{3})\right)=1+x+O(x^{2}).$

   减去 $1$ 后剩下 $x+O(x^2)$，于是指数是

   $v=\frac{1}{x+O(x^{2})}\sim\frac{1}{x}.$

3. 3

   把底数展开到足够的阶数。 用 $e^{x}-1=x+\tfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3})$ 和 $\cos\sqrt{x}=1-\tfrac{x}{2}+O(x^{2})$，两者相乘得

   $\left(x+\tfrac{x^{2}}{2}\right)\left(1-\tfrac{x}{2}\right)=x+\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3})=x+O(x^{3}).$

   两个一阶修正正好互相抵消——这个相消就是整道题的关键所在。

4. 4

   写出底数，看它离 1 有多近。

   $u=\frac{x}{x+O(x^{3})}=1+O(x^{2}),\qquad\text{于是}\qquad u-1=O(x^{2}).$

5. 5

   把指数与底数合到一起。

   $v(u-1)=\frac{1}{x}\cdot O\!\left(x^{2}\right)=O(x)\longrightarrow 0,$

   于是

   $L=e^{0}=1.$

   假如第 3 步里的 $x^2$ 项没有抵消，$u-1$ 就会是 $x$ 阶，答案便成了 $e^{\pm 1/2}$ —— 这正是选项 (A) 和 (B) 设下的陷阱。

6. 6

   数值确认。 直接计算原式：$x=0.1$ 时为 $1.004211$，$x=0.01$ 时为 $1.000417$，$x=0.001$ 时为 $1.0000417$，$x=10^{-4}$ 时为 $1.0000042$ —— 按 $x$ 的一次方逼近 $1$，与 $O(x)$ 的估计完全吻合。答案是 (D)。