求当 x 趋于正无穷时 ln(1 + 2ˣ) 乘 ln(1 + 2/x) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先辨认不定式类型。 当 $x\to+\infty$ 时，第一个因子 $\ln(1+2^x)\to+\infty$，而第二个因子 $\ln\left(1+\tfrac{2}{x}\right)\to\ln 1=0$。乘积是 $\infty\cdot 0$ 型，结果可能是任何值；必须把两个因子放在一起比较快慢。

2. 2

   把增长的那个因子换成它的主部。 在对数里把 $2^x$ 提出来：

   $\ln(1+2^x)=\ln\left[2^x\left(1+2^{-x}\right)\right]=x\ln 2+\ln\left(1+2^{-x}\right)$

   修正项 $\ln(1+2^{-x})\to 0$，所以

   $\frac{\ln(1+2^x)}{x\ln 2}\to 1,\qquad\text{即}\qquad \ln(1+2^x)\sim x\ln 2$

   把这个恒等式老老实实写出来，而不是含糊带过，等价关系才算站得住。

3. 3

   把趋于零的那个因子换成它的线性近似。 令 $t=\tfrac{2}{x}\to 0$，由标准等价关系 $\ln(1+t)\sim t$ 得

   $\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\sim\frac{2}{x}$

   它直接来自 $\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$，也就是 $\ln(1+t)$ 在 $t=0$ 处的导数。

4. 4

   把两个等价关系相乘。 渐近等价在乘法下保持不变，所以

   $\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\sim (x\ln 2)\cdot\frac{2}{x}=2\ln 2$

   $x$ 恰好约掉了——对数是线性增长，另一个因子按 $1/x$ 衰减，乘积于是落在一个有限的常数上。

5. 5

   给出结论并算出数值。

   $\boxed{\lim_{x\to+\infty}\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)=2\ln 2=\ln 4\approx 1.3863}$

6. 6

   数值检验收敛情况。 当 $x=100$ 时乘积为 $1.37261$，$x=1000$ 时为 $1.38491$，$x=10^4$ 时为 $1.386156$——正一点点逼近 $2\ln 2=1.386294$。趋近很慢（误差是 $1/x$ 量级的），这恰好和我们丢掉的那些项所预示的一致。