证明 f(x) = √(9x² − 6x + 3) 的图象当 x → +∞ 时有一条斜渐近线，求出它的方程，并判断曲线在这条直线的上方还是下方。

Step-by-step solution

1. 1

   先看无穷远处的走势。 根号内的 $9x^2-6x+3$ 首项系数为正，判别式 $36-108=-72<0$，所以它对每个实数 $x$ 都取正值，$f$ 的定义域是整个 $\mathbb{R}$。当 $x\to+\infty$ 时根号内的式子 $\to+\infty$，因此 $f(x)\to+\infty$：图象向上跑掉了，唯一可能的渐近线只能是一条斜线。

2. 2

   在根号内配方。 把 $9$ 从含 $x$ 的项中提出来：

   $9x^2-6x+3=9\left(x^2-\frac{2}{3}x\right)+3=9\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-1+3$

   又因为 $9\left(x-\tfrac13\right)^2=(3x-1)^2$，所以

   $9x^2-6x+3=(3x-1)^2+2$

   这个标准形式是本题的关键一步：它把藏在根号里的那个一次函数显式地暴露出来了。

3. 3

   从标准形式猜出渐近线。 写成

   $f(x)=\sqrt{(3x-1)^2+2}$

   当 $x$ 很大时，$+2$ 相比 $(3x-1)^2$ 可以忽略，所以在 $x>\tfrac13$ 时 $f(x)\approx|3x-1|=3x-1$。于是候选的渐近线是

   $\Delta:\ y=3x-1$

4. 4

   用共轭因式把它证明出来。 令 $h(x)=f(x)-(3x-1)$。这是 $\infty-\infty$ 型，所以分子分母同乘共轭式：

   $h(x)=\frac{\left[(3x-1)^2+2\right]-(3x-1)^2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}=\frac{2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}$

   分子是常数 $2$，而分母 $\to+\infty$，所以

   $\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-(3x-1)\bigr]=0$

   这正是"$y=3x-1$ 是 $C$ 在 $+\infty$ 处的渐近线"的定义。

5. 5

   由 $h$ 的符号读出曲线的位置。 当 $x>\tfrac13$ 时分母里两项都为正，所以

   $h(x)=\frac{2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}>0$

   于是 $f(x)>3x-1$：曲线在渐近线上方，从上方无限接近它，但永不相交。

6. 6

   总结，并顺带看另一端。

   $\boxed{y=3x-1\ \text{ 是 }+\infty\text{ 处的渐近线，}\ \text{ 且 } C \text{ 在 } \Delta \text{ 上方}}$

   数值上，$f(10)-29=0.0345$，$f(10^4)-29999=3.33\times 10^{-5}$，衰减速度约为 $\tfrac{1}{3x}$。同样的计算中取 $|3x-1|=1-3x$，可得 $-\infty$ 处的渐近线是 $y=-3x+1$，曲线同样在它上方。