求 x 趋于无穷时 (1/i) × e^(ix) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先把常数 $\dfrac{1}{i}$ 化简。 分子分母同乘 $i$，再用 $i^{2}=-1$：

   $\frac{1}{i}=\frac{i}{i^{2}}=\frac{i}{-1}=-i$

   于是整个表达式就是 $-ie^{ix}$。这样把 $i$ 从分母里清出去，正是实数里「分母有理化」的复数版本。

2. 2

   用欧拉公式展开。 因为 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$，

   $-i\left(\cos x+i\sin x\right)=-i\cos x-i^{2}\sin x=\sin x-i\cos x$

   实部是 $\sin x$，虚部是 $-\cos x$。

3. 3

   分别检查两个分量有没有极限。 复值函数收敛，当且仅当它的实部和虚部都收敛。这里 $\sin x$ 永远在 $-1$ 与 $1$ 之间来回振荡，$\cos x$ 也一样，所以 $x\to\infty$ 时两个分量都没有极限。

4. 4

   注意模长并不衰减。 因为 $\left|e^{ix}\right|=1$、$\left|-i\right|=1$，

   $\left|\frac{1}{i}e^{ix}\right|=1\quad\text{对每个 }x$

   这个点从不向内盘旋：它以恒定速度沿单位圆绕行，每过 $2\pi$ 就回到出发点。

5. 5

   得出极限不存在的结论。 有两个子列稳定在不同的值上 —— 在 $x=2\pi n$ 处表达式等于 $-i$，而在 $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n$ 处等于 $1$。若极限存在，就会逼着这两者相等，所以

   $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{i}e^{ix}\ \text{不存在。}$