求 3 sin(x)/cos^2(x) + sin(2x) 在 x = 0 处展开到 5 次的泰勒级数。

Step-by-step solution

1. 1

   先把这个商写成两个已知级数的乘积。 对 $3\sin x/\cos^2 x$ 反复求导实在太痛苦，不如把它写成 $3\sin x\cdot\sec^{2}x$，再用两个标准的麦克劳林展开： $\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+O(x^{7}),\qquad \sec^{2}x=1+x^{2}+\frac{2}{3}x^{4}+O(x^{6}).$

2. 2

   相乘，只保留到 x^5 的项。 把总次数不超过 $5$ 的乘积收集起来：$x\cdot 1=x$；$x\cdot x^{2}=x^{3}$；$-\frac{x^{3}}{6}\cdot 1=-\frac{x^{3}}{6}$；$x\cdot\frac23x^{4}=\frac23x^{5}$；$-\frac{x^{3}}{6}\cdot x^{2}=-\frac{x^{5}}{6}$；$\frac{x^{5}}{120}\cdot 1=\frac{x^{5}}{120}$。于是 $\sin x\,\sec^{2}x=x+\frac56x^{3}+\left(\frac23-\frac16+\frac1{120}\right)x^{5}+O(x^{6})=x+\frac56x^{3}+\frac{61}{120}x^{5}+O(x^{6}).$

3. 3

   整体乘以 3。 逐项相乘得 $\frac{3\sin x}{\cos^{2}x}=3x+\frac{5}{2}x^{3}+\frac{61}{40}x^{5}+O(x^{6}).$

4. 4

   第二项用换元展开。 在正弦级数里把 $x$ 换成 $2x$， $\sin(2x)=2x-\frac{(2x)^{3}}{6}+\frac{(2x)^{5}}{120}+O(x^{7})=2x-\frac43x^{3}+\frac{4}{15}x^{5}+O(x^{7}).$

5. 5

   把两个级数逐项系数相加。 $x$ 项给出 $3+2=5$；$x^{3}$ 项给出 $\frac52-\frac43=\frac{15-8}{6}=\frac76$；$x^{5}$ 项给出 $\frac{61}{40}+\frac{4}{15}=\frac{183+32}{120}=\frac{215}{120}=\frac{43}{24}$。只有奇次幂留了下来，这在意料之中，因为 $f$ 是奇函数。

6. 6

   对多项式做数值检验。 在 $x=0.01,\,0.02,\,0.05$ 处计算 $f(x)-\left(5x+\frac76x^{3}+\frac{61}{24}x^{5}\right)$，分别得到 $-7.5\times10^{-11}$、$-2.40\times10^{-9}$ 和 $-2.34\times10^{-7}$；把它们各自除以 $x^{7}$，得到的常数大致相同，说明误差确实是 $O(x^{7})$，没有漏掉更低次的项。