求当 x 趋于 0 时 tan(2x)/sin(3x) 的极限。

Step-by-step solution

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   先看形式。 $\tan 2x$ 与 $\sin 3x$ 在 $x=0$ 处都为零，所以这个商是 $\frac{0}{0}$ 型。

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   把正切改写掉。 用 $\tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$，式子变成 $\frac{\sin 2x}{\cos 2x\,\sin 3x}$。余弦不碍事，因为 $\cos 0=1\neq 0$。

3. 3

   分子分母同除以 $x$。 商变成 $\frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\cos 2x\cdot\frac{\sin 3x}{x}}$，这样每一块三角函数都成了标准的 $\frac{\sin kx}{x}$ 形状。

4. 4

   套用标准极限。 由 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$ 可知，分子趋于 $2$，因子 $\frac{\sin 3x}{x}$ 趋于 $3$，而 $\cos 2x\to 1$。

5. 5

   合起来。 极限是 $\frac{2}{1\cdot 3}=\frac{2}{3}$。

6. 6

   数值检验。 取 $x=10^{-6}$，原来的商算出来是 $0.66666667$，与 $\frac{2}{3}$ 吻合。