判断级数 ∑ 1/(1 + n(ln n)²)（n 从 1 到 ∞）是否收敛，并估计它的值。

Step-by-step solution

1. 1

   先把第一项单独拎出来。 当 $n=1$ 时 $\ln 1=0$，所以这一项是 $\dfrac{1}{1+0}=1$。真正值得研究的行为从 $n=2$ 才开始，于是写成

   $S=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}$

2. 2

   与贝特朗级数作比较。 当 $n\ge 2$ 时，分母上多出来的 $+1$ 只会让分母更大，于是

   $0<\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}<\frac{1}{n\left(\ln n\right)^{2}}$

   而 $\sum_{n\ge 2}\dfrac{1}{n(\ln n)^{p}}$ 恰好在 $p>1$ 时收敛。这里 $p=2$，所以作为比较对象的级数收敛，原级数也随之收敛。

3. 3

   看清为什么门槛正好是 $p>1$。 作换元 $u=\ln x$，积分判别法里的积分就变成

   $\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u^{2}}=\frac{1}{\ln 2}$

   它有限，是因为 $u$ 的指数大于 1。若换成 $p=1$，同样的换元给出 $\int du/u$，这个积分发散——正是那个经典的临界情形。

4. 4

   承认它没有初等闭式。 不像 $\sum 1/n^{2}=\pi^{2}/6$，这个和没有已知的、用常见常数写得出来的表达式，所以老实的回答就是：给出收敛判定，再补一个数值。

5. 5

   用尾部积分来估值，而不是硬取部分和。 它收敛得极慢：取前 $N$ 项之后余下的尾部大约是

   $\int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\frac{1}{\ln N}$

   当 $N=10^{7}$ 时部分和是 $2.42985$，可尾部还有 $0.06204$——所以算到这里就停下来报 $2.43$（或 $2.42$），会把答案低估 $2\%$ 以上。

6. 6

   把部分和与尾部加在一起。 在不同的截断点上把这两块相加，得到的值非常稳定：

   $N=10^{4}:\ 2.38332+0.10857=2.49189,\qquad N=10^{7}:\ 2.42985+0.06204=2.49189$

   所以

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}\approx 2.4919$

   $N$ 跨越三个数量级结果仍然一致，这正是这个估计值可信的原因。