解微分方程 (eʸ + 6x) dx + x eʸ dy = 0。

Step-by-step solution

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   给两个系数函数起名，并检验是否为全微分。 记

   $M(x,y)=e^y+6x,\qquad N(x,y)=xe^y$

   当 $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$ 时方程是全微分的。这里

   $\frac{\partial M}{\partial y}=e^y,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=e^y$

   两者相等，所以存在满足 $F_x=M$、$F_y=N$ 的势函数 $F(x,y)$——而且不需要积分因子。

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   把 $M$ 对 $x$ 积分，先把 $F$ 搭起来。 把 $y$ 当作常数，

   $F(x,y)=\int\left(e^y+6x\right)dx=xe^y+3x^2+g(y)$

   这里的积分「常数」其实是一个未知的关于 $y$ 的函数，因为只依赖 $y$ 的东西在 $\partial/\partial x$ 下都会消失。

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   把这个候选函数对 $y$ 求导，再与 $N$ 对齐。

   $\frac{\partial F}{\partial y}=xe^y+g'(y)\stackrel{!}{=}N=xe^y$

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   解出那个未知函数。 两边约掉 $xe^y$，剩下

   $g'(y)=0\quad\Rightarrow\quad g(y)=\text{常数}$

   $y$ 的依赖被完全消掉，正是全微分条件带来的红利；如果这里还剩下一个只含 $y$ 的项，那就在这一步把它积分掉即可。

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   把通解写成隐式形式。 全微分方程的解总是 $F(x,y)=C$ 的形状：

   $xe^y+3x^2=C$

   任意常数把 $g$ 的那个常数吸收了进去。

6. 6

   对答案求微分来验算。 对 $xe^y+3x^2=C$ 两边取 $d$：

   $\left(e^y+6x\right)dx+xe^y\,dy=0$

   这正是原方程 ✓。（若要显式解出，则在真数为正的地方有 $y=\ln\frac{C-3x^2}{x}$。）