解微分方程 dy/dx + 2y = e^(3x)。

Step-by-step solution

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   先确认它是标准的一阶线性形式。 对照 $y'+P(x)y=Q(x)$ 可以读出

   $P(x)=2,\qquad Q(x)=e^{3x}$

   与本题 $e^{-x}$ 那个版本相比，只有 $Q$ 变了，所以整套做法一模一样，只有最后那个积分不同。

2. 2

   只用 $P$ 就能算出积分因子。 因为 $\mu$ 只依赖 $P$，右端的驱动项 $e^{3x}$ 在这一步说不上话：

   $\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}$

3. 3

   两边同乘，把左边凑成一个导数。

   $e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y=e^{2x}e^{3x}=e^{5x}$

   $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right)=e^{5x}$

   注意指数是相加的：这正是右边为什么变成 $e^{5x}$ 而不是 $e^{3x}$。

4. 4

   积分，用 $\int e^{kx}dx=e^{kx}/k$。 这里 $k=5$，所以最终答案里那个 $1/5$ 就诞生在这一步：

   $e^{2x}y=\frac{1}{5}e^{5x}+C$

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   两边除以 $e^{2x}$，再合并指数。

   $y=\frac{1}{5}e^{5x-2x}+Ce^{-2x}=\frac{1}{5}e^{3x}+Ce^{-2x}$

6. 6

   代回原方程直接验算。 由 $y=\tfrac15 e^{3x}+Ce^{-2x}$ 得 $y'=\tfrac35 e^{3x}-2Ce^{-2x}$，于是

   $y'+2y=\left(\tfrac35+\tfrac25\right)e^{3x}+(-2C+2C)e^{-2x}=e^{3x}$

   其中系数那一步 $\tfrac35+\tfrac25=1$ 最值得动手算一遍——$1/5$ 要是写错了，这里会立刻暴露。