解微分方程 y'' + y = 12。

Step-by-step solution

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   把问题拆成两半。 对常系数线性方程，通解是 $y=y_h+y_p$：齐次方程的通解，加上完整方程的任意一个特解。两部分都不能少——漏掉 $y_p$ 或丢掉那些任意常数，得到的都是错的答案。

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   解齐次方程。 把右端置零，试 $y=e^{rx}$，得到特征方程

   $r^2+1=0\qquad\Longrightarrow\qquad r=\pm i$

   一对纯虚共轭根 $\pm i\beta$ 对应的是无衰减的振动，所以

   $y_h=C_1\cos x+C_2\sin x$

3. 3

   选一个试探特解。 右端是常数 $12$，所以试一个常数 $y_p=A$。常数的各阶导数都为零，即 $y_p''=0$，代入得

   $0+A=12\qquad\Longrightarrow\qquad A=12$

   于是 $y_p=12$。（这样做行得通，是因为 $r=0$ 不是特征方程的根——否则试探解还得再乘一个 $x$。）

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   拼出通解。

   $y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+12$

5. 5

   解读这个答案。 解以 $2\pi$ 为周期、以 $\sqrt{C_1^2+C_2^2}$ 为振幅，绕着平衡位置 $y=12$ 上下振动。这个 $12$ 就是常数驱动所强加的稳态值：齐次部分提供摆动，特解部分定下中心线。

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   代入验算。 取 $y=C_1\cos x+C_2\sin x+12$，则 $y''=-C_1\cos x-C_2\sin x$，于是

   $y''+y=\left(-C_1\cos x-C_2\sin x\right)+\left(C_1\cos x+C_2\sin x+12\right)=12\ \checkmark$

   数值上取 $C_1=1.3$、$C_2=-0.7$，用步长 $10^{-4}$ 的中心二阶差分，在 $x=0.2,\ 1.5,\ -1.1$ 处算得 $y''+y=12.000$ ✓。