先指出 x 趋于 0 时 (e^x + x)^(1/x) 的极限属于哪种未定式，再用洛必达法则求出它。

Step-by-step solution

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   先辨认未定式的类型。 当 $x\to 0$ 时，底数 $e^x + x \to 1$，而指数 $\tfrac{1}{x} \to \pm\infty$。所以这是 $1^{\infty}$ 型 —— 它确实是未定式，因为一个略大于 $1$ 的底数被抬到极大的幂上，结果可以趋向任何值。它不是简单地等于 $1$。

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   取对数，把幂变成商。 记极限为 $L$，并令 $y = (e^x+x)^{1/x}$：

   $\ln y = \frac{\ln(e^{x}+x)}{x}$

   当 $x\to 0$ 时分子 $\to \ln 1 = 0$，分母也 $\to 0$，于是变成了 $\tfrac{0}{0}$ 型，洛必达法则可以上场了。

3. 3

   上下分别求导。 分子要用链式法则：

   $\frac{d}{dx}\ln(e^x+x) = \frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}, \qquad \frac{d}{dx}x = 1$

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   把新的商在 $x = 0$ 处求值。 它已经不再是未定式：

   $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x} = \frac{1+1}{1+0} = \frac{2}{1} = 2$

   所以 $\ln L = 2$。

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   把对数还原回去。 最后这一步取指数最容易被忘掉，一忘就把答案写成 $2$ 了：

   $L = e^{2} \approx 7.389056$

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   从两侧做数值验证。 取 $x = 0.001$：$e^{0.001}+0.001 = 1.0020005$，而 $1.0020005^{1000} = 7.378$。取 $x = -0.001$：$e^{-0.001}-0.001 = 0.9980005$，而 $0.9980005^{-1000} = 7.400$。两者把 $e^2 = 7.38906$ 夹在中间 ✓，符号计算得到的极限也正是 $e^2$。