求中心在原点、实轴沿 x 轴的双曲线族所满足的微分方程。

Step-by-step solution

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   先数一数任意常数，以此预判方程的阶数。 这个曲线族带有两个独立参数 $a$ 与 $b$。消去 $n$ 个常数需要求导 $n$ 次，所以答案会是一个二阶微分方程。事先知道这一点，就知道该在什么时候停止求导。

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   对 $x$ 求导一次。 把 $y$ 看作 $x$ 的函数，对 $y^2$ 用链式法则：

   $\frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{a^2}=\frac{y\,y'}{b^2}$

   原方程右端的常数 $1$ 已经消失 —— 现在手里有了一个关于 $a^2$ 与 $b^2$ 的关系式。

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   再求导一次。 对 $\dfrac{x}{a^2}=\dfrac{y\,y'}{b^2}$ 求导，其中 $y\,y'$ 用乘法法则：

   $\frac{1}{a^2}=\frac{(y')^2+y\,y''}{b^2}$

4. 4

   把两个关系式相除，一次性消掉两个常数。 两个方程都是「某式」$/a^2$ = 「某式」$/b^2$ 的形状，所以第一式除以第二式时，比值 $b^2/a^2$ 会约掉：

   $\frac{x/a^2}{1/a^2}=\frac{y\,y'/b^2}{\left((y')^2+y\,y''\right)/b^2}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y\,y'}{(y')^2+y\,y''}$

   这正是这个方法最省力的地方：一次除法就同时消掉了 $a$ 和 $b$，而不必分别把它们解出来。

5. 5

   去掉分母，得到微分方程。

   $x\left[\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y\,\frac{d^2y}{dx^2}\right]=y\,\frac{dy}{dx}$

   或者把所有项移到一边写成

   $x\,y\,y''+x\,(y')^2-y\,y'=0$

   式子里不含 $a$ 与 $b$，所以它对这一族里的每一条曲线都成立 —— 这正是「这一族曲线的微分方程」的含义。

6. 6

   取一条具体曲线验证。 取 $a=2$、$b=3$，即 $y=3\sqrt{x^2/4-1}$，在 $x=3$ 处取值：此时 $y=3.354102$，$y'=2.012461$，$y''=-0.536656$。于是

   $x\left[(y')^2+y\,y''\right]=3\left[4.050+(-1.800)\right]=6.750,\qquad y\,y'=3.354102\times 2.012461=6.750$

   两边相等；换别的 $a,b$ 重复这个检验，结果同样相符 —— 说明两个常数确实被消干净了。