求 e^(−x) 乘 x^3.102378 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   先看清分部积分在这里为什么走不通。 对整数次幂 $x^n e^{-x}$，反复分部积分会让指数每次降一级，直到降到 $x^0$，积分就闭合了。而取 $a = 3.102378$ 时，指数依次是 $3.102378,\ 2.102378,\ 1.102378,\ 0.102378,\ -0.897622,\dots$，永远碰不到零，所以这个过程不会终止。它没有初等原函数。

2. 2

   给出真正能把它闭合的那个特殊函数。 下不完全伽马函数定义为

   $\gamma(s,x) = \int_0^{x} t^{s-1}e^{-t}\,dt$

   由微积分基本定理，$\dfrac{d}{dx}\gamma(s,x) = x^{s-1}e^{-x}$。

3. 3

   把指数对上。 我们需要 $s - 1 = 3.102378$，所以

   $s = 4.102378$

   因此

   $\int e^{-x}x^{3.102378}\,dx = \gamma(4.102378,\,x) + C$

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   给出等价的上不完全伽马写法。 因为 $\gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s)$，而 $\Gamma(s)$ 关于 $x$ 是常数，所以同一个原函数也可以写成

   $\int e^{-x}x^{3.102378}\,dx = -\Gamma(4.102378,\,x) + C$

   两种写法只差一个常数 $\Gamma(4.102378)$，它被吸收进 $C$ 里了。

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   顺手读出整条射线上的定积分。 令 $x \to \infty$，不完全伽马就收缩成完全伽马：

   $\int_0^{\infty} e^{-x}x^{3.102378}\,dx = \Gamma(4.102378) \approx 6.83346$

   作为对照，相邻的整数情形是 $\Gamma(4) = 3! = 6$，可见指数稍大一点会让积分值小幅抬升，这与 $\Gamma$ 在 $s = 4$ 之后平稳增长的性质一致。