求 1/(1 + x)² 的麦克劳林级数，展开到 x⁷ 项（含该项）。

Step-by-step solution

1. 1

   从一个已经熟悉的级数出发。 当 $|x|<1$ 时，几何级数给出

   $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$

   与其硬算 $(1+x)^{-2}$ 在 $0$ 处的七阶导数，不如先看看目标函数与它是什么关系。

2. 2

   两边求一次导。 因为 $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}$，所以逐项求导再取负号就直接得到目标：

   $-\frac{1}{(1+x)^2}=-1+2x-3x^2+4x^3-\cdots\;\Longrightarrow\;\frac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+\cdots$

   在收敛半径内部逐项求导是合法的，而收敛半径仍然是 $|x|<1$。

3. 3

   写出通项系数。 规律是符号交替、绝对值依次递增：

   $\frac{1}{(1+x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1)x^n$

   你还可以用二项级数 $(1+x)^{-2}=\sum\binom{-2}{n}x^n$ 来核对，因为 $\binom{-2}{n}=(-1)^n(n+1)$。

4. 4

   把到七次为止的各项列出来。

   $\frac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+7x^6-8x^7+O\!\left(x^8\right)$

5. 5

   取值验算，并留意收敛的边界。 在 $x=0.1$ 处，截断后的级数给出 $1-0.2+0.03-0.004+0.0005-0.00006+0.000007-0.0000008=0.8264462$，而精确值是 $\dfrac{1}{1.1^2}=0.\overline{8264462809917355371900}$ $\checkmark$。而在 $x=1$ 处级数变成 $1-2+3-4+\cdots$，它不收敛，这与从几何级数继承来的收敛半径 $|x|<1$ 一致。