求 x² − 13·x^(2/4) 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   先把指数约到最简。 $\tfrac{2}{4} = \tfrac12$，所以 $x^{2/4} = x^{1/2} = \sqrt{x}$，被积函数就是

   $x^2 - 13\sqrt{x}$

   不约分倒也不算错，只是会让下一步算 $n+1$ 时白白多费周折。

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   用线性性把积分拆开。

   $\int \left(x^2 - 13x^{1/2}\right)dx = \int x^2\,dx - 13\int x^{1/2}\,dx$

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   对每一项套幂函数积分公式。 用 $\int x^n dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$（两个指数都不是 $-1$，所以适用）：

   $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}, \qquad \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$

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   把系数乘进去。

   $-13 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} = -\frac{26}{3}x^{3/2}$

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   拼出答案。

   $\int \left(x^2 - 13\sqrt{x}\right)dx = \frac{x^3}{3} - \frac{26}{3}x^{3/2} + C$

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   求导检验。 $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^3}{3}\right) = x^2$，$\tfrac{d}{dx}\left(-\tfrac{26}{3}x^{3/2}\right) = -\tfrac{26}{3}\cdot\tfrac32 x^{1/2} = -13\sqrt{x}$。导数恰好回到被积函数。另外注意定义域：$\sqrt{x}$ 要求 $x \ge 0$。