求 n 趋于无穷时 (2ⁿ + (−7)ⁿ) 除以 (2ⁿ⁺¹ + (−7)ⁿ⁺¹) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   比较绝对值，找出主导项。 两个底数的大小分别是 $|2|=2$ 与 $|-7|=7$。因为 $7>2$，当 $n$ 增大时 $(-7)^n$ 会把 $2^n$ 完全压过去——正负交替的符号并不影响谁更大。

2. 2

   把平移了一位的幂各分出一个因子。 改写分母，使两项的指数与分子对齐：

   $2^{n+1}=2\cdot 2^{n},\qquad (-7)^{n+1}=(-7)\cdot(-7)^{n}.$

3. 3

   分子分母同时除以主导项。 记 $r=\dfrac{2}{-7}$，于是 $\dfrac{2^{n}}{(-7)^{n}}=r^{n}$：

   $\frac{2^{n}+(-7)^{n}}{2\cdot 2^{n}-7\cdot(-7)^{n}}=\frac{r^{n}+1}{2r^{n}-7}.$

4. 4

   让这个小比值趋于零。 因为 $|r|=\tfrac27<1$，当 $n\to\infty$ 时 $r^{n}\to 0$ —— 它的符号会正负交替，但按几何速度衰减，所以极限总归是 $0$。

5. 5

   读出极限。

   $\lim_{n\to\infty}\frac{r^{n}+1}{2r^{n}-7}=\frac{0+1}{0-7}=-\frac{1}{7}.$

6. 6

   用精确分数验算。 用精确分数计算原式：$n=10$ 时是 $-0.14285781$，$n=11$ 时是 $-0.14285695$，而 $n=50$、$51$、$200$、$201$ 时都是 $-0.142857142857$ —— 随着 $n$ 奇偶交替，它从两侧收敛到 $-\tfrac17=-0.142857\ldots$。