设 y = f(x) = x³，求当 x 从 3 变到 5 时，y 关于 x 的平均变化率。

Step-by-step solution

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   先写出定义。 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均变化率是 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ —— 也就是过 $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))$ 两点的割线斜率，而不是某一点处的导数。

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   算两个端点的函数值。 $f(5)=5^3=125$，$f(3)=3^3=27$。

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   求 $y$ 的改变量。 $\Delta y=125-27=98$。

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   求 $x$ 的改变量。 $\Delta x=5-3=2$。

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   相除。 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{98}{2}=49$，也就是说在这个区间上，$x$ 每增加 $1$ 个单位，$y$ 平均上升 $49$ 个单位。

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   和瞬时变化率比一比。 因为 $f'(x)=3x^2$，所以斜率在 $x=3$ 处是 $27$，在 $x=5$ 处是 $75$；平均值 $49$ 正好夹在两者之间，这正是拉格朗日中值定理要求的。