用导数的极限定义证明 2x³ − 1 的导数是 6x²。

Step-by-step solution

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   先写出定义。 对 $f(x)=2x^3-1$，导数是 $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。整个证明无非是把这个商化得足够简单，让 $h\to 0$ 变成一次普通的代入。

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   展开 $f(x+h)$。 用 $(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$ 得到 $f(x+h)=2x^3+6x^2h+6xh^2+2h^3-1$。

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   减去 $f(x)$。 $2x^3$ 与 $-1$ 都抵消了，剩下 $f(x+h)-f(x)=6x^2h+6xh^2+2h^3$。留下来的每一项都至少带一个 $h$ 因子，这正是这个商不会发散的原因。

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   除以 $h$。 把 $h$ 提出来：$\frac{h\left(6x^2+6xh+2h^2\right)}{h}=6x^2+6xh+2h^2$，它对每个 $h\neq 0$ 都成立 —— 而求极限所需要的也就只有这些。

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   取极限。 剩下的是关于 $h$ 的多项式，可以直接代入：$\lim_{h\to 0}\left(6x^2+6xh+2h^2\right)=6x^2$。

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   写出结论。 所以 $\frac{d}{dx}(2x^3-1)=6x^2$，与幂函数求导法则一致，也印证了常数项 $-1$ 对导数毫无贡献。