一质点沿直线运动，速度为 v(t) = t^2 + t 米每秒。求它在 t = 1 到 t = 2 秒这段时间内的位移。

Step-by-step solution

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   把位移与速度联系起来。 在 $[a,b]$ 上的位移就是定积分 $\int_a^b v(t)\,dt$；它是位置的净变化量，这是 $v=\frac{ds}{dt}$ 的逆运算。

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   检查速度的符号。 在 $[1,2]$ 上 $t^2$ 与 $t$ 都为正，所以全程 $v(t)>0$。质点从不掉头，这意味着这里的位移与总路程是一致的。

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   写出积分。 位移 $=\displaystyle\int_1^2\left(t^2+t\right)dt$。

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   求原函数。 $\int\left(t^2+t\right)dt=\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}$。

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   代入上下限。 在 $t=2$ 处：$\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$。在 $t=1$ 处：$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$。相减得 $\frac{28}{6}-\frac{5}{6}=\frac{23}{6}$。

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   带单位作答。 位移为 $\frac{23}{6}\approx 3.833$ 米，用数值积分对 $t^2+t$ 在 $[1,2]$ 上求值同样得到 $3.8333$。