求当 x 趋于 −2 时 (2x² + x − 3)/|x − 1| 的极限。

Step-by-step solution

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   动手做花活之前，先看一眼分母。 分母带绝对值通常意味着要分左右两侧讨论，但那只在绝对值内部能在极限点处取零时才需要。这里

   $|x-1|\ \text{只在}\ x=1\ \text{处为零},$

   而极限点是 $x=-2$，离它远着呢。所以根本不存在要处理的未定式。

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   在 $x=-2$ 附近把绝对值去掉。 当 $x$ 靠近 $-2$ 时有 $x-1<0$（在 $x=-2$ 处它等于 $-3$），所以在这整个邻域上

   $|x-1|=-(x-1)=1-x.$

   这样一改写，绝对值就彻底消失了，说明函数在 $x=-2$ 附近就是两个多项式之比——因而在该点连续。

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   确认它不是 0/0 型。 把分子分母分别在 $x=-2$ 处求值：

   $2(-2)^{2}+(-2)-3=8-2-3=3,\qquad |-2-1|=|-3|=3.$

   两者都不为零，所以既不用因式分解，也不用有理化，更用不着洛必达法则——这些工具是专为未定式准备的。

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   直接代入。 函数在 $x=-2$ 处连续，极限就等于函数值：

   $\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}=\frac{3}{3}=1.$

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   验证左右极限确实一致。 从左边靠近（$x=-2.001$）：$\frac{2(4.004)+(-2.001)-3}{3.001}=\frac{3.007}{3.001}\approx 1.002$。从右边靠近（$x=-1.999$）：$\frac{2.993}{2.999}\approx 0.9980$。步长越小两者越接近 $1$，所以双侧极限存在且等于 $1$ ✓。可以对比一下 $\lim_{x\to1}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}$，那里的绝对值才真的会让左右两侧取到不同的值。