求当 x 趋于无穷时 √((36x² − 25x + 16)/(9x² − 4x + 1)) 的极限。

Step-by-step solution

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   先处理根号里面的部分。 平方根在 $[0,\infty)$ 上连续，所以

   $\lim_{x\to\infty}\sqrt{g(x)} = \sqrt{\lim_{x\to\infty} g(x)}$

   前提是里面的极限存在且非负。于是先算那个有理函数，最后再开一次方。

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   分子分母同除以最高次幂 $x^2$。 这是处理无穷远处极限的标准动作，它把所有低次项都变成会趋于零的东西：

   $\frac{36x^2-25x+16}{9x^2-4x+1} = \frac{36 - \dfrac{25}{x} + \dfrac{16}{x^2}}{9 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}}$

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   让那些倒数项趋于零。 当 $x\to\infty$ 时，$\tfrac{25}{x}$、$\tfrac{16}{x^2}$、$\tfrac{4}{x}$ 和 $\tfrac{1}{x^2}$ 都趋于 $0$：

   $\lim_{x\to\infty}\frac{36x^2-25x+16}{9x^2-4x+1} = \frac{36}{9} = 4$

   分子与分母次数相同，所以极限就等于首项系数之比。

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   开平方。

   $\sqrt{4} = 2$

   答案是 $+2$，即算术平方根；写成 $\pm$ 是错的，因为这里讨论的式子自始至终都是一个非负的平方根。

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   当心那条诱人的捷径。 写成 $\sqrt{36x^2}/\sqrt{9x^2} = 6x/3x = 2$ 在这道题里碰巧得到了正确答案，但那只是因为两个首项系数恰好都是完全平方数，而且 $x > 0$。稳妥的路子永远是先把根号里面化简干净。

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   数值验证。 取 $x = 1000$：分子 $= 36{,}000{,}000 - 25{,}000 + 16 = 35{,}975{,}016$，分母 $= 9{,}000{,}000 - 4{,}000 + 1 = 8{,}996{,}001$，比值 $= 3.999001$，开方得 $1.999750$。取 $x = 10^6$ 时开方得 $1.99999975$ ✓——确实在向 $2$ 收敛，而符号计算给出的极限正好是 $2$。