计算 x^2 + y^2 在抛物面 x^2 + y^2 = 2z 内部、介于平面 z = 2 与 z = 8 之间那块立体上的三重积分。

Step-by-step solution

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   先认出被积函数就是 $r^2$。 $x^2+y^2$ 这个组合正是柱坐标半径的平方，所以柱坐标是最自然的选择——被积函数变成 $r$ 的一个单项幂，而且完全不依赖角度：

   $x^2+y^2=r^2,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

   这个量正是立体绕 $z$ 轴的转动惯量所对应的被积函数，这也是它出现得如此频繁的原因。

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   用水平截面来定积分限。 在抛物面内部意味着 $z=\tfrac{r^2}{2}$ 化为 $r\le\sqrt{2z}$，而两个平面把 $z$ 卡在 $2$ 与 $8$ 之间：

   $\iiint_E\left(x^2+y^2\right)dV=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^2\cdot r\,dr\,d\theta\,dz=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^3\,dr\,d\theta\,dz$

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   沿半径方向积分。 对固定的高度 $z$，

   $\int_0^{\sqrt{2z}} r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{2z}}=\frac{(2z)^2}{4}=z^2$

   $(2z)^2/4$ 恰好塌缩成 $z^2$，这点小小的运气是 $x^2+y^2=2z$ 里那个系数 $2$ 事先埋好的，它让这道题剩下的部分变得毫无难度。

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   先扫角度，再扫高度。 由于没有任何东西依赖 $\theta$，这一层积分只贡献一个因子 $2\pi$：

   $\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi} z^2\,d\theta\,dz=2\pi\int_2^8 z^2\,dz=2\pi\left[\frac{z^3}{3}\right]_2^8=2\pi\cdot\frac{512-8}{3}=2\pi\cdot 168$

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   写出答案，并拿体积核一下。

   $\iiint_E\left(x^2+y^2\right)dV=336\pi\approx 1055.6$

   顺手做个合理性检验：同一块立体的体积是 $\int_2^8 \pi(2z)\,dz=\pi(64-4)=60\pi$，于是 $x^2+y^2$ 在这块立体上的平均值是 $\tfrac{336\pi}{60\pi}=5.6$。对一个半径从 $2$ 变到 $4$ 的区域来说，这个平均半径平方是说得通的。