求 ln(1 + x/(eπ)) 对 x 的导数。

Step-by-step solution

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   把 $e\pi$ 当成一个整体常数看。 乘积 $e\pi\approx 8.53973422$ 里不含 $x$，所以它的行为跟任何一个普通数字没有区别。早点意识到这一点，就不会手痒去对它套乘积法则或商法则。

2. 2

   对自然对数用链式法则。 令 $u=1+\dfrac{x}{e\pi}$，则

   $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u},\qquad u'=\frac{1}{e\pi}$

   内层导数就是常数 $\tfrac{1}{e\pi}$，因为 $x$ 是一次出现的。

3. 3

   写出这个商。

   $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1}{e\pi}}{1+\frac{x}{e\pi}}$

   到这一步答案已经正确了，但它是分数套着分数，值得再多写一行把它收拾干净。

4. 4

   把繁分数化掉。 分子分母同乘 $e\pi$：

   $\frac{\frac{1}{e\pi}\cdot e\pi}{\left(1+\frac{x}{e\pi}\right)e\pi}=\frac{1}{e\pi+x}$

   这个常数从分子里彻底消失了，只是把分母平移了一下。

5. 5

   认出一般规律并做检验。 对任意常数 $c$，都有 $\dfrac{d}{dx}\ln\left(1+\tfrac{x}{c}\right)=\dfrac{1}{x+c}$：一次函数取对数后求导，结果就是这个一次函数的倒数，而且已经缩放到首项系数为 1。数值上取 $x=1.7$，中心差分得 $0.0976588$，而 $\dfrac{1}{1.7+8.53973422}=0.0976588$ ✓。