求当 x 趋于 0 时 (√(3 + x) − √3)/x 的极限。

Step-by-step solution

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   先确认这是未定式。 在 $x=0$ 处分子为 $\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$，分母为 $0$，形式是 $\frac{0}{0}$。光靠代入收不了尾。

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   选有理化，而不是因式分解。 挡路的是两个平方根之差，所以给分子分母同乘共轭式 $\sqrt{3+x}+\sqrt{3}$。用的是 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，目的是把上面的根号清掉。

3. 3

   化简分子。 $\left(\sqrt{3+x}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=(3+x)-3=x$，于是这个商变成 $\frac{x}{x\left(\sqrt{3+x}+\sqrt{3}\right)}$。

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   约掉因子 $x$。 当 $x\neq 0$ 时它等于 $\frac{1}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3}}$，而极限只考察 $0$ 附近的取值，从来不看 $0$ 本身。

5. 5

   代入 $x=0$。 化简后的表达式在那里连续，分母有理化后得到 $\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。

6. 6

   做数值检验。 在 $x=10^{-8}$ 处的差商为 $0.288675$，而 $\frac{\sqrt{3}}{6}=0.2886751$——六位小数一致。