解微分方程 y 的二阶导数 加 2 倍 y 的一阶导数 加 y 等于 e 的 3x 次方。

Step-by-step solution

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   把任务拆成两半。 对常系数线性方程，通解是 $y=y_h+y_p$：齐次方程的通解，加上完整方程的任意一个特解。这两半各用一套不同的方法求。

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   先解齐次部分。 令 $y''+2y'+y=0$，代入 $y=e^{rx}$：

   $r^2+2r+1=(r+1)^2=0\quad\Rightarrow\quad r=-1\ \text{（二重）}$

   重根只提供一个指数函数，所以第二个线性无关的解是这个指数函数再乘上 $x$：

   $y_h=(C_1+C_2x)e^{-x}$

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   选对试探函数。 右边是 $e^{3x}$。因为 $3$ 不是 $r^2+2r+1$ 的根，不会发生共振，直接猜 $y_p=Ae^{3x}$ 就够了。（如果右边是 $e^{-x}$，与那个重根撞上，试探函数就得再乘一个 $x^2$ 因子。）

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   代入并求出 $A$。 由 $y_p'=3Ae^{3x}$、$y_p''=9Ae^{3x}$，

   $(9A+6A+A)e^{3x}=e^{3x}\quad\Rightarrow\quad 16A=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{16}$

   这个 $16$ 不是巧合：它就是特征多项式在那个指数处的取值，$p(3)=3^2+2(3)+1=16$。

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   把通解拼起来。

   $y=(C_1+C_2x)e^{-x}+\frac{1}{16}e^{3x}$

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   两部分都验一遍。 对 $y_p=\frac{1}{16}e^{3x}$：$\frac{9}{16}+\frac{6}{16}+\frac{1}{16}=\frac{16}{16}=1$，所以它确实还原出 $e^{3x}$ ✓。对 $y_h=xe^{-x}$：$y_h'=(1-x)e^{-x}$，$y_h''=(x-2)e^{-x}$，而 $(x-2)+2(1-x)+x=0$，所以它满足齐次方程 ✓。